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Los 10 casos de factorización

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by

Andru de la Cruz

on 17 August 2013

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Transcript of Los 10 casos de factorización

Los 10 casos de factorización
¿Qué es Factorizar?
Es descomponer en dos o mas componentes.

Ejemplos:

4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y)
25X² - 49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y)
c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y)
1. Factor Común
Es un término que está presente (y multiplicando) en todos y cada uno de los términos de una expresión. Ejemplo: los términos
2x + 6x² + 20x^4
tienen como factor común a 2x:
2x(1) + 2x(3x) + 2x(10x³) =
2x(1 + 3x + 10x³)
Factor común monomio: a^2 +2a = a(a +2)
Factor común polinomio: a(x+1)+b(x+1) = (x+1)(a+b)
3. Trinomio Cuadrado Perfecto
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplo: Factorizar 81z2 - 180z + 100
La raíz cuadrada de : 81z2 es 9z
La raíz cúbica de : 100 es 10
El doble producto de las raíces: 2(9z)(10) es 180z
Luego 81z2 - 180z + 100 = (9z - 10)2

5. Trinomio cuadrado perfecto por adicion y sustracción
Se comprueba si el trinomio es cuadrado perfecto, extrayendo la raíz cuadrada al primer y tercer término; las raíces cuadradas de estos términos se multiplican por 2, y este producto se compara con el segundo término del trinomio dado.
Si el 2º término del trinomio no es igual al producto encontrado, no es cuadrado perfecto. Por lo que se procede a convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, de la siguiente manera:
Se le suma al 2º término la diferencia que falta para que sea igual a producto encontrado en la comprobación del trinomio; y además para que el trinomio dado no varíe hay que restarle esta misma diferencia a todo el trinomio.
Por último se encuentra el resultado como en una diferencia de cuadrados perfectos (Caso IV).

Ejemplo: Factorar x^4 +x^2y^2 +y^4
= (x^2 +xy +y^2)(x^2 -xy+y^2) <– Solución

7. Trinomio por la forma ax2 + bx + c
La diferencia de esta forma con la anterior es que en aquella debía haber una sola equis cuadrada, mientras que en ésta debe haber más de una. La letra a representa en general a cualquier número que vaya junto a la x^2 (indica cuántas equis cuadradas hay); la letra b representa a cualquier número que vaya junto a la x (indica cuántas equis hay); y la c representa a cualquier número que vaya sin la x .
Ejemplo: 2x^2 + 5x + 3= 2x^2 + 3x + 2x + 3= x(2x+3) +(2x + 3)= (2x + 3) ( x + 1)
10. Suma o diferencia de dos potencias iguales
Son 2 potencias iguales, es decir, 2 potencias con la misma base y el mismo exponente tienen el mismo valor.
Ejemplos: a^5+1= (a+1)(a4-a3+a2-a+1)
a^5-1= (a-1)(a4+a3+a2+a+1)
2. Factor común por agrupación de terminos
Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo. Ejemplo:
17ax – 17mx + 3ay - 3my + 7az – 7mz
= a(17x +3y +7z) - m(17x + 3y +7z)
= (17x +3y +7z)(a – m)
8. Cubo Perfecto de Binomios
Una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra es un cubo perfecto, si cumple las siguientes condiciones:
1). Tener cuatro términos
2). El primer y último término sean cubos perfectos (tienen raíz cúbica exacta).
3). El segundo término es tres veces el producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último término.
4). El tercer término sea tres veces, el producto de la raíz del primer término por el cuadrado de la raíz del último término.
5). El primer y tercer términos son positivos, el segundo y el cuarto términos tienen el mismo signo (positivo o negativo).

Ejemplo: a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3 = (a+b)^3
4.Diferencia de Cuadrados Perfectos
Expresiones como a2 - b2 , 42 - p2q2 , 1/9y2 - m2n2 , se
denominan diferencias de cuadrados perfectos, ya que
los términos que lo forman tienen raíz cuadrada exacta.

La diferencia de cuadrados perfectos se factoriza como el producto de dos binomios, uno como suma y otro como resta.Los términos de estos binomios son las raíces cuadradas de cada uno de los términos de la diferencia planteada al principio.

REGLA PARA FACTORAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS: Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.
Ejemplo: 16x^2 - 36y^4 = (4x - 6y^2) (4x+6y^2)
6. Trinomio de la forma x2 + bx + c
Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
a^2+2a-15=(a-3)(a+5)
9. Suma o diferencia de cubos perfectos
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces mas el cuadrado de la segunda raíz.
Ejemplo: 1 +a^3 = (1 +a)(1 -a +a^2) Solución.
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