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Construcción de modelos matemáticos en investigación de oper

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Estefania Arredondo

on 14 October 2015

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Transcript of Construcción de modelos matemáticos en investigación de oper

Los modelos utilizados en la IO son eminentemente matemáticos y se pueden clasificar de acuerdo a los valores y características de sus variables, en: deterministas y estocásticos, y cada uno de ellos a su vez, en estáticos y dinámicos.

• Modelos deterministas.
En los modelos deterministas, ni las variables exógenas, ni las endógenas, se obtienen por medio del azar, debido a que se suponen relaciones exactas para las características de operación, en lugar de funciones de densidad de probabilidad. Son variables con valores preestablecidos.

• Modelos estocásticos.
Son aquellos modelos en los que, por lo menos una de las características de operación esta dada por una función de probabilidad. Los valores de ésta o éstas variables, se obtienen al azar.

• Modelos estáticos.
Son aquellos modelos que no toman en cuenta, explícitamente, a la variable tiempo.

• Modelos dinámicos.
Los modelos matemáticos que tratan de las interacciones que varían con el tiempo, se denominan modelos dinámicos.
Los modelos que se han considerado como propios de la IO, por ser los que en escencia se aplican con mayor frecuencia y por lo mismo se les han dedicado más horas de estudio son:

Programación lineal
Programación no lineal
Programación entera
Programación binaria
Programación de metas múltiples
Redes de optimización
Modelos de inventarios
Líneas de espera
Teoría de juegos
Análisis de decisiones
Cadenas de Markov
Programación dinámica
Simulación de sistemas
La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.
Programación lineal
Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que
pretenden resolver la situación siguiente:
Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a: una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales.
DETERMINACION DE LA REGION FACTIBLE
La solución de un problema de programación lineal, en el supuesto de que exista una solución, debe estar en la región determinada por las distintas desigualdades.
Esta recibe el nombre de región factible, y puede estar o no acotada.
CONSTRUCCIÓN DE MODELOS LINEALES.
Supongamos que:
$3,000.00 por automóvil.
$4,000.00 camionetas.
X1= Número de automóviles vendidos.
X2= Número de camionetas vendidas.

Utilidad lograda al final del mes:
Utilidad por los automóviles = 3000X1
Utilidad por las camionetas = 4000X2
UT= 3000X1+ 4000X2 Función Objetivo

Construcción de modelos matemáticos en investigación de operaciones
Definición del modelo y su clasificación
La mayoría de estos modelos dan soluciones analíticas y por tanto exactas mientras que la técnica de la simulación proporciona soluciones numéricas lo que les da un carácter de aproximación en los resultados.

En otro orden de ideas, un enfoque diferente a la representación por medio de modelos de sistemas complejos consiste en utilizar la simulación. La técnica de simulación involucra tanto a modelos matemáticos como lógicos. Un modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementales a los que les corresponde, generalmente un modelo matemático y que después se enlazan entre si vía relaciones lógicas bien definidas; utilizando la estructura SI...... , .....ENTONCES..... Por lo tanto, partiendo del módulo de entrada, las operaciones de cálculo pasarán de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.

Los modelos de simulación, en comparación con los modelos matemáticos, ofrecen una mayor flexibilidad en la representación de sistemas complejos, la razón principal es que la simulación enfoca el sistema desde un nivel básico elemental. Por otra parte, la modelación matemática tiende a considerar el sistema desde un nivel menos detallado.
Construcción de modelos de programación lineal (P. L.)
Los modelos de programación matemática mantienen una relación indirecta con la computación. El término “Programación” no debe ser confundido con el utilizado en la ciencia de los computadores.
En el campo de la programación matemática, “Programación” resulta equivalente a planificación, en el sentido más amplio de este término. No obstante, la magnitud de muchos de los problemas tratados, el elevado número de datos y relaciones, hace impensable su resolución sin el soporte informático. Tal vez la característica común a todos los modelos de programación matemática radica en su finalidad: son modelos de optimización. Cada modelo de programación matemática es concebido con el objetivo de encontrar, para el problema que representa, la solución (o las soluciones), de entre las existentes, que alcance el valor máximo o mínimo de acuerdo a cierto criterio que denominamos objetivo.
Los modelos lineales, exigen que la función objetivo y las restricciones del problema sean lineales. En algunas situaciones esta consideración resulta excesiva y supone ciertamente una limitación a la hora de
modelar.
En algunas ocasiones, las expresiones no lineales pueden ser tratadas, obteniéndose un
modelo final lineal.
A pesar de estas observaciones, resulta más fácil, de forma general, resolver modelos
lineales, de aquí su importancia y su amplia utilización.
De manera específica, un modelo lineal consta de tres bloques diferenciados. La función Construcción de modelos de Programación Lineal, objetivo, las restricciones y la definición de signo o tipo de las variables. El proceso de modelado consiste en la especificación de estos tres bloques. No existe ninguna metodología específica para modelar problemas, la experiencia resulta fundamental, es en este sentido en el que el proceso de modelar es aveces llamado “arte” de modelar. No obstante, en el presente capítulo se reflejarán las situaciones más comunes que se presentan en el modelado de problemas lineales. Posteriormente se complementará lo expuesto desarrollando de forma minuciosa algunos casos concretos.

Conocidas las variables de decisión, formularemos las restricciones del problema, a partir de la descripción formal del mismo, incluyendo las variables auxiliares que resulten necesarias. De forma adicional surgirán restricciones implícitas al modelo como consecuencia de la elección inicial de determinadas variables, de procesos de
linealización y de la relación entre variables de decisión y auxiliares
En un problema de programación lineal intervienen:
La función f(x,y) = ax+ by+ c llamada función objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresión x e y son las variables de decisión, mientras que a, b y c son constantes.
Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su número depende del problema en cuestión. El carácter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones, disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... ( menores: < o ); como mínimo de ... (mayores: > o ) .
Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.
Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las
restricciones se lo denomina conjunto (o región ) factible
. Todo punto de ese conjunto puede ser solución del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solución.
La solución óptima del problema será un par de valores (x 0, y 0) del conjunto factible que haga que f(x,y ) tome el valor máximo o mínimo
La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio (o) o en sentido estricto (< o >). Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con
un número de lados menor o igual que el número de restricciones.
El procedimiento para determinar la región factible es el siguiente:
1)Se resuelve cada inecuación por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones. Se dibuja la recta asociada a la inecuación. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos Para averiguar cuál es la región válida, el procedimiento práctico consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuación. Si lo hacen, la región en la que está ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuación; en caso contrario, la región válida es la otra.
2) La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones .
Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución y en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.
La Formulación y Construcción del Modelo Lineal implica:
Definir claramente las variables de decisión y expresarlas simbólicamente convencionalmente.
Definir claramente la Función Objetivo y las restricciones y expresarlas matemáticamente como funciones lineales.
En otras palabras:
La Formulación implica describir conceptualmente los elementos componentes del modelo en una situación específica.
La Construcción implica expresar en términos matemáticos los elementos definidos en el modelo.

Modelar y resolver un problema matemáticamente.
Requerimientos:
Maximizar o minimizar un objetivo.
Las restricciones limitan el grado en que se puede alcanzar el objetivo.
Debe haber alternativas disponibles.
Las relaciones matemáticas son lineales.
Todas las respuestas a las variables son no negativas.
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