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SET에 담긴 수학적 의미

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by

근영 이

on 31 August 2016

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Transcript of SET에 담긴 수학적 의미

조합기호 C
nCr로 쓰이며 n개중 r개를 중복 없이 선택할때 사용
이론적 배경
멘사에서 두뇌 발달에 영향을 주는 보드게임으로 선정된 카드게임
SET란 무엇인가
이 12장의 카드들 중에서 set이 나오지 않는 경우가 생기는데, 이 경우 3장씩을 더 깔게 된다.
예외
81장의 카드에서 임의로 2장의 카드를 선택한 뒤 그 2장과 set인1장을 제외한 78장의 카드에서 선택한다면 3개중 set이 존재하지 않는다.
여사건을 이용하기
어떤 n장의 카드 안에 set이 하나도 없다고 가정하자.
일반화
81개중 n개를 뽑는 경우의 수는 81Cn 이 되기 때문에
(81-n-nC2)(nC2)/81Cn 이 확률이 된다.
결과
SET에 담긴 수학적 의미
10616 이근영
12장을 깔고 시작하는데, set이 되는 조건은 3장의 카드의 각 속성의 특징들이 각각 같거나 달라야 한다.
특징: 각각3개의 특징이 있다.
속성:모양, 음영, 개수, 색깔
네개의 속성과 그 속성에 각각 3개의 특징이 있다.
속성 4개중 1개만 특성이 모두 다르고 나머지는 같을 때
set가 나올 수 있는
경우의 수
이때 set가 나오지 않는 확률과 set가 나오지 않는 경우의 수를 구해 보았다.
이차 부등식의 풀이
이차 방정식과 유사하게 풀되 범위에 신경써서 푼다.
나머지 카드는 각 3개이므로 그들 특성의 개수가 모두 같기 때문에 3x3x3x4가 된다.
각각의 속성은 3개로 이루어져 있으므로 속성이 모두 다른 것은 2개가 결정될 때 SET는 오직 하나만 생긴다.
4는 요소의 수가 4개이므로 4C1의 값이 된다.
속성 4개중 2개만 특성이 모두 다르고,나머지 2개는 모두 같을 때
두 개의 속성을 조합하여(각각의 2개의 속성의 다른 요소로 이루어짐) 만들 수 있는 경우의 수는
6x6x9=324
각각의 3개의 속성의 다른 속성으로 이루어질 때
3x2x1x3x2x1x4x3=432
따라서 set이 되는 모든 경우는 1080
4번째 카드를 추가하려면 3장의 카드에서 2장을 선택하는 경우의 수인3C2를 78에서 빼야 한다.
그러면 추가하는 n+1번째 카드는 남은 81-n장의 카드 중 이미 선택된 n장의 카드에서 2장을 선택하는 경우인 nC2 가 된다.
81-n-nC2의 카드들로 구성 하면 set이 나오지 않는 경우가 만들어 진다.
따라서 (81-n-nC2)(nC2)가 카드가 n장일 때 set이 나오지 않는 가지수가 된다.
SET이 하나도 없도록 하면서 기존의 카드에 1장씩 카드를 추가해 나갈 때 남은 카드의 수가 제외해야 될 카드의 수와 같거나 작으면 더 이상 카드를 추가할 수 없다.
set이 없는 최대 카드 수
앞에서 언급한 것과 같이 부등식을 세우면

계산과정
그 때까지가 set이 존재하지 않는 최대 카드의 수이다
이다.
다시 정리하면
따라서
근의 공식을 사용하면
은 대략 12.24이므로 13장이 최소 개수이다.
계산과정은 제외해야 하는 카드의 중복을 고려하지 않은 것이다.따라서 오차가 생기는데,
한계
가장 많은 카드중 set이 존재하지 않는 방법을 찾으면다음과 같다.
따라서 21개 부터는 set가 존재한다.
탐구의 한계
앞에서 언급했듯이 더 정확한 풀이로는 시뮬레이션을 통한 방법이 있다고 한다. (4색 정리와 유사한 방법) 그러나 코딩이 미숙한 관계로 시뮬레이션을 돌리지 못한 것이 아쉽다. 기회가 닿으면 다시 시뮬레이션으로 계산해 보고 싶다.
느낀점
평소에 즐겨하는 보드게임 set에 이러한 수학이 숨겨져 있어 놀라웠다. 심지어 공식 홈페이지에는 이산수학 이라는 대학수학부분이 존재한다고 명시되어 있기 때문에 간단한 규칙으로도 복잡한 원리를 끌어낼 수 있음을 알게 되었다. 또한,다른 보드게임들에 대해도 숨어있는 과학, 수학을 찾아보고 싶다.
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