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Untitled Prezi

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by

hyun woo

on 15 May 2016

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Transcript of Untitled Prezi

4차원 입방면체에 대한 특징과 오일러의 법칙 성립 증명
목차
1. 연구하게된 동기 및 목적 5. 결론 및 느낀점
(1) 연구하게된 동기 (1).......................
(2) 목적 (2).......................

2. 연구방법
(1) 가설
(2) 가설 검증 방법

3. 이론적 배경
(1)4차원 초정다면체에 대해
(2)4차원 초정다면체를 만들기 위한 조건

4. 연구의 과정
(1) 가설1의 검증
(2) 가설 2의 검증
연구하게된 동기
목적
◉우주는 17차원이라고 사람들이 말한다. 그중에서 우리는 4차원의 세계에서 살고 있고 3차원의 눈을 가지고 있어서 실제로는 2차원까지의 물체까지 인식할 수 있댔다. 3차원인 입체는 우리가 익숙해져서 3차원인 물체를 2차원인 평면에서 보아도 입체라고 느낄 수 있다. 그럼 4차원인 물체를 3차원의 입체에 적용 시킬 수 있을까라고 생각해서 시도해 보게 되었다. 그리고 2,3차원에 적용되는 오일러의 법칙이 성립되는 지 알아보고 싶었다.
◉이번 산출물 발표대회를 통해 그동안 알지 못했던 4차원 도형이라는 것을 그래픽 프로그램을 통해 컴퓨터를 더 잘 다루고 새로운 것을 탐구하는 능력을 기르도록 한다.
연구방법
1. 가설
(1). 4차원에서도 오일러의 법칙이 성립할 것이다.
(2). 초정다면체도 개수가 한정되어 있을 것이다.


(가설 1). 오일러의 법칙을 증명하여 그에따른 성립 과정을 거친 후 여러 가지 4차원 입방면체에 대입해본다.
(가설 2). 정다면체가 왜 5개로 한정되어 있는지 알아보고 그 이유를 발판삼아 개수가 한정되어 있는지 알아본다.
가설 검증 방법
이론적 배경
◉초정다면체란
1) 4차원 볼록입체이다
2) 모든 선분의 길이가 같다
3) 이루고 있는 모든 면들이 정다각형이다
4) 한 꼭지점에 모인 선의 개수가 모두 같다
5) 한 선에 모인 면의 개수가 모두 같다
6) 한 점에 모인 입체의 개수는 모두 같고 이루고 있는 입체는 모두 정다면체이다.
이런 이유로 4차원 입방면체를 만들기 위해선 안과 밖이 없고 움직이는 도형을 만들어야 하며 전개도는 3차원적으로 만들어야 한다.
이론적 배경으로 알게된 4차원 초정다면체를 유추하는 방법
(1) 제작하려는 4차원 입방면체를 해당 3차원 다면체로 전환시킨다.
(2) 해당 3차원 다면체의 전개도를 그린다.
(3) 해당 전개도의 0차원 부분을 1차원으로 1차원부분을 2차원으로 2차원 부분을 3차원부분으로 전환시킨다. (전개도를 접어 겹치는 부분은 없애거나 삭제해준다)(겨냥도를 본다)
(4) 전개도를 이용해도 잘 제작되지 않는 다면 해당 3차원 다면체를 수직으로 복사해 끌어들여 시간이라는 개념을 적용시키면 된다
part 1
연구 과정
오포체
오포체의 전개도를 만들기 위해 준비한

정사면체 전개도
정사면체 전개도를 입체화 시켜

오포체의 전개도를 제작하였다.
오포체의 전개도를 접어 겹치는 부분을

생략하였다. 시간의 개념을 적용시키지

않았기 때문에 완벽한 오포체가 아니다.
다음은 4차원 초정다면체인 오포체이다. 시간의 개념이 적용되

어 모든 면의 길이와 면적 그리고 동등한 입체의 개수가 되었다.
팔포체
4차원 입방면체를 유추 할때
또 다른 방법이 있다. 그 전 차원 도형을 수직으로 끌어당겨서 4차원 입방면체 의 움직임과 4차원 입방면체를 유추할 수 있디.
마찬가지로 팔포체의 전개도를

유추하기 위해 정육면체

전개도를 먼저 만들었다.
정육면체 전개도를 그 전개도 한면을

정육면체 한 면의 전개도로 만들어

팔포체의 전개도를 유추하였다.
3차원 적으로 만들어진 팔포체의
전개도를 접어 겹치는 부분을 생략
한 것이다.
역시나 아직 시간의 개념이 적용 되지
않았다.
다음은 팔포체에 시간의 개념이 적용된 것이다.

팔포체는 특히나 하이퍼큐브라고도 불리는데

초정다면체 중에서는 가장 간단히 혹은 잘 알아볼수 있게 움직인다.

모든 입체가 한번씩 작은 정육면체가 된다.
십육포체
팔포체 전개도를 만들기 위해 만든

정팔면체 전개도이다.
위 정팔면체 전개도를 마찬가지로 3차원화 시켜 만든

십육포체 전개도이다.

십육포체를 접을려니 힘들어서 3D max의 접기 능력

을 사용하였다.
16포체 전개도를 마찬가지로 접고 생략하여

만들어진 16포체 겨냥도이다.
이것은 16포체이다. 시간의 개념이 적용되었다.
이십사포체
정팔면체로 이루어진 전개도이다.

정팔면체는 십육포체에서도 사용이

되었다.
정팔면체로 이로어진 이십사포체 전개도를

접어서 생략한 이십사포체 겨냥도이다.
시간의 개념을 적용시킨 이십사포체이다.

돌아가는 것이 복잡해고 움직이는 방향이

여러방향이다.

백이십포체
정오각형 전개도이다.

이 전개도를 이용해

백이십포체 전개도를 제작한다.
백이십포체의 겨냥도이다.

백이십포체의 전개도는

너무 제작이 어려워 제작을

중단하였다.
시간의 개념이 적용된
백이십포체이다.
육백포체
육백포체는

정사면체로 이루어져있다.

매우 복잡하다.
시간의 개념이 적용되었다.

완벽한 육백포체가 되었다.
오일러 법칙 증명
F=E+2 오일러 공식을 증명하는데는 이중귀납법을 이용합니다.

귀납기초.
F=1 일때, F=1이라는것은 면이 하나이므로 tree 구조가 된다.
tree 는 n개의 vertex와 n-1개의 edge로 구성된다.
귀납기초 : vertex 의 개수가 1이면 edge의 수는 0이므로 V=0+1. 성립함.
귀납가정 : vertex 의 개수가 n개 (edge의 개수가 n-1) 일때 V(n)=E(n-1)+1 이 성립한다고 가정합시다.
여기에 vertex 하나를 추가하면 tree를 유지하기위해 edge는 반드시 하나만 추가됩니다. 추가한 vertex에 두개 이상의 edge를 연결하게되면 cycle 이 만들어져 tree가 되지 않는다.
즉 V + 1 = E + 1 + 1
V = E + 1 이 되어 귀납가정은 항상 성립한다.
그러므로 F=1 일때의 귀납기초는 항상 성립한다.

귀납가정
F=n일때, V+F=E+2가 성립한다고 가정한다.
(즉 V+n=E+2 가 성립한다고 가정.)
그리고, n+1개의 face를 가진 그래프를 고려해보면..
바깥면과 이웃한 하나의 면 f가 반드시 존재한다.
그리고 이 f는 하나의 사이클로 이루어져 있다.
이 사이클에서 하나의 edge를 삭제하게 되더라도 이 그래프는 둘로 나뉘지는 않는다.
(이 그래프가 두개의 분리된 그래프가 되지 않는다는 뜻임)
이 f면을 이루는 사이클 중 하나의 edge를 제거하면 face의 개수가 하나 줄고, edge 하나를 제거했기 때문에 edge수 또한 하나가 줄게 된다.
(거꾸로 보면 n개의 face로 이루어진 그래프에 1개의 edge를 추가하면 n+1개의 face가 됩니다.)
F=n일때의 가정하에 F=n+1일때가 성립하므로 위의 식은 항상 성립하게 된다.

귀납기초 성립, 귀납가정 성립하므로 V+F=E+2 는 항상 성립한다.
담당교사 : 김지영 선생님
탐구자/ 작성자 : 우현규
오일러법칙 검증
가설 검증 2 (연구과정2)
가설 검증 2
모든 초정다면체가 각각 한 점에서 같은

입체와 면 그리고 선이 모였고 이 이외엔

이런 조건을 가진 초정다면체가 없기 때문에

초정다면체가 6개 밖에 없다.
느낀점
4차원 입방면체라고 처음 주제를 정했을 땐 그냥 4차원이
가상의 차원이라고 알고 있었는데 이번 산출물 탐구를 통해 4차원개념이 결코 현실에 존재하지 않는 것이 아님을 알게 되었다. 이번 산출물 발표프로그램인 프레지가 좀 말썽을 부려서 힘들었지만 은근 잘 된것 같았다.
어쨌든 이번 산출물 (개인 연구 과제)가 많이 도움을 주었다.
참고문헌
리만이 들려주는 4차원 기하학 이야기(수학자가 들려주는 수학이야기(자음과 모음))
4차원 까페 (공유자 :또또님)
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