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LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI

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by

beatrice martelli

on 16 November 2015

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Transcript of LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI

COS'E' UNA SUCCESSIONE NUMERICA?
Una successione numerica
a
è una funzione che associa ad ogni numero naturale
n
un numero reale
a(n)
a: ℕ -> ℝ
n
si dice indice della successione
a
con n si dice termine della successione
FIBONACCI IN MUSICA
FIBONACCI IN LETTERATURA
Persino nella letteratura è stato rintracciato il rapporto aureo, più specificatamente in poesia. Ci sarebbero due modi per poterlo rintracciare: come idea ispiratrice dell'opera, oppure come principio organizzatore della struttura ritmica che dona al componimento le sue decantate doti di armonia.
PAUL BRUCKMAN
Unica opera legata alla serie di Fibonacci, per altro a sfondo umoristico, è la poesia intitolta "Media Costante", pubblicata nel 1977 sulla rivista matematica Fibonacci Quarterly nella quale vengono decantate le proprietà del numero.
FIBONACCI IN NATURA
FIBONACCI IN MATEMATICA
LA SUCCESSIONE DI FIBONACCI
CHI E' FIBONACCI?
Leonardo Pisano detto il Fibonacci (1175–1235)
fu un matematico italiano.

Egli è considerato come uno dei più grandi
matematici di tutti i tempi. Con altri matematici del tempo contribuì alla rinascita delle scienze esatte dopo la decadenza dell'Età Tardo Antica e del basso Medioevo. Con lui, in Europa, ci fu il connubio fra i procedimenti della geometria greca euclidea e gli strumenti matematici di calcolo elaborati dalla scienza araba e alessandrina.
L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge matematica che potesse descrivere la crescita di una popolazione di conigli.

Assumendo per ipotesi che:
si disponga di una coppia di conigli appena nati
questa coppia (la prima) diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese;
le nuove coppie nate si comportino in modo analogo;
le coppie fertili, dal secondo mese di vita in poi, diano alla luce una coppia di figli al mese;

si verifica quanto segue:
dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile,
dopo due mesi ci saranno due coppie di cui una sola fertile,
nel mese seguente (terzo mese dal momento iniziale) ci saranno 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile avrà generato; di queste tre due saranno le coppie fertili, quindi
nel mese seguente (quarto mese dal momento iniziale) ci saranno 3+2=5 coppie
In questo esempio, il numero di coppie di conigli di ogni mese esprime la successione di Fibonacci.
I CONIGLI DI FIBONACCI
LA SUCCESSIONE
Da questo problema nasce la successione di Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...

La successione si può definire in modo ricorsivo con la seguente legge:
a(1)=1, a(2)=1, a(n)=a(n-2)+a(n-1)
LE APPLICAZIONI
I FRATTALI
Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale. L'autosomiglianza è governata da una regola o formula ripetibile, che deriva appunto dalla successione di Fibonacci.
LA SEZIONE AUREA
La sezione aurea, o rapporto aureo, indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due:
b:a=a:(a+b)
Questo rapporto vale approssimativamente
sempre 1,6180.

Il valore così definito, esprime la sezione aurea, ed è un numero irrazionale e algebrico. Esso può essere approssimato, con crescente precisione, dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è strettamente collegato.
Ma vedremo meglio lo stretto legame tra Fibonacci e la sezione aurea più avanti ...
La musica ha numerosi legami con la matematica, e molti ritengono che importante sia in essa il ruolo della sezione aurea e dei numeri di Fibonacci.
Nel pianoforte, invece, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci. I tredici tasti delle ottave, distinti in otto bianchi e cinque neri, a loro volta divisi in gruppi da due e tre tasti ciascuno; 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti tutti alla successione di Fibonacci, ma anche in questo caso, ancor più che nel precedente, si tratta di una mera coincidenza che non può neppure essere attribuita a una specifica volontà del costruttore, trattandosi di una soluzione motivata unicamente dall'evoluzione strutturale dello strumento.
IL PIANOFORTE
RICHIAMI NELLA MUSICA CONTEMPORANEA
I TOOL
I Tool fanno un sapiente uso dei primi elementi della successione di Fibonacci nel singolo "Lauteralus": contando infatti le sillabe della prima strofa si ottiene 1,1,2,3,5,8,5,3,2,1,1,2,3,5,8,13,8,5,3.

Da notare che la canzone fa un continuo riferimento alla figura della spirale ([...] To swing on the spiral [...] Spiral out. Keep going [...]).
I GENESIS
I Genesis hanno usato assiduamente la serie fibonacciana nella costruzione armonico-temporale dei loro brani: Firth of Fifth è tutto basato su numeri aurei: ad esempio ci sono assoli di 55, 34, 13 battute, di questi alcuni sono formati da 144 note.
I DEEP PURPLE
La serie si ritrova anche nei Deep Purple nel brano "Child in Time", interamente concepito secondo il rapporto tra i numeri 8 e 5 e termini consecutivi della sequenza di Fibonacci.
VIRGILIO
Riguardo alla seconda possibilità sono state fatte alcune constatazioni sull'Eneide di Virgilio. Un docente dell'università di Princeton, George Duckworth, affermò in un suo saggio, edito nel 1962, che il poeta latino avrebbe strutturato il testo sezionandolo in parti "minori" e "maggiori" che avrebbero rispettato il rapporto aureo.
I FIORI
Quasi tutti i fiori hanno numero di petali che rientra nella successione di Fibonacci: ad esempio i gigli ne hanno tre, i ranuncoli cinque, il delphinium spesso ne ha otto, la calendula tredici, l'astro ventuno, e le margherite di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove.
IL GIRASOLE
I piccoli fiori al centro del girasole sono disposti lungo due insiemi di spirali che girano rispettivamente in senso orario e antiorario, seguendo la forma della spirale costruita sulla base della successione di Fibonacci e della sezione aurea
LE FOGLIE
Le foglie sono disposte sui rami in modo tale da non coprirsi l’una con l’altra per permettere a ciascuna di esse di ricevere la luce del sole. Se prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e contiamo quante foglie ci sono fino a quella perfettamente allineata spesso questo numero è un numero di Fibonacci e anche il numero di giri in senso orario o antiorario che si compiono per raggiungere tale foglia allineata è un numero di Fibonacci. L'angolo tra due foglie successive è costante ed è di circa 137,5º. Tale angolo, corrispondente all'angolo aureo.
LE CONCHIGLIE
La curva che passa per vertici consecutivi di questa successione di rettangoli è una spirale che troviamo spesso nelle conchiglie.
FIBONACCI IN ANATOMIA
Il rapporto fra le lunghezze delle falangi del dito medio e anulare di un uomo adulto è aureo, come anche il rapporto tra la lunghezza del braccio e l'avambraccio, e tra la lunghezza della gamba e la sua parte inferiore.
Nel 2013 è stato scoperto che durante il passo il rapporto tra la fase di appoggio e la fase di oscillazione dell'arto inferiore, quando il piede avanza e non è in contatto con il terreno, è pari al rapporto aureo.
Questo comporta una serie di proporzionalità delle fasi del passo che probabilmente ne semplifica il controllo da parte del sistema nervoso centrale.
Soggetti con patologie neurologiche hanno alterato questo rapporto.
Analogamente anche il rapporto tra le fasi cardiache diastolica e sistolica è stato scoperto essere prossimo al rapporto aureo.
FIBONACCI NELL'ARTE
Molto spesso capita che nelle opere di diversi artisti venga riscontrata la presenza della sezione aurea, in particolar modo sotto forma di rettangolo aureo.
ARCHITETTURA GRECA
Il Partenone
ARCHITETTURA MEDIEVALE
Palazzo della signoria - Firenze
Chiesa di San Nicola - Pisa
RINASCIMENTO
Leonardo - Uomo Vitruviano
Leonardo - La Gioconda
EPOCA MODERNA
Georges Seurat
Botticelli - Nascita di Venere
Pablo Picasso - Guernica
L'onda di Hokusai
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