The Internet belongs to everyone. Let’s keep it that way.

Protect Net Neutrality
Loading presentation...

Present Remotely

Send the link below via email or IM

Copy

Present to your audience

Start remote presentation

  • Invited audience members will follow you as you navigate and present
  • People invited to a presentation do not need a Prezi account
  • This link expires 10 minutes after you close the presentation
  • A maximum of 30 users can follow your presentation
  • Learn more about this feature in our knowledge base article

Do you really want to delete this prezi?

Neither you, nor the coeditors you shared it with will be able to recover it again.

DeleteCancel

Методика математического моделирования на компьютере

No description
by

Brynin George

on 16 February 2014

Comments (0)

Please log in to add your comment.

Report abuse

Transcript of Методика математического моделирования на компьютере

Математическое
моделирование

Методика
математического моделирования
на компьютере

Процесс разработки математических моделей
Математическое моделирование и компьютеры
упрощенное подобие объекта моделирования, отражающее его свойства, существенные с точки зрения цели моделирования
Моделирование и его разновидности
натурные
модели
информационные
модели
Математические модели - описание объекта моделирования на языке математики
Виды математических моделей
по отраслям
наук
по математическому
аппарату
по основной
функции
МОДЕЛЬ
Имитационные модели
математические модели в физики, химии, биологи, социологии
основаны на примененинии уравнений различных классов, статистических методов, алгебраических структур и преобразований
общие закономерности в различных видах человеческой деятельности
Функциональный подход к классификации математических моделей
Дескриптивные модели
Оптимизационные модели
Многокритериальные модели
Дескриптивная модель
Описывает состояние объекта или процесса. Основным достоинством данного типа моделей является ее прогностические возможности моделей.
МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ КОМЕТЫ, вторгшейся в Солнечную систему, описываетр (предсказывает) траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдкт от Земли. У исследователя нет возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.
Описание развития некоторой популяции животных или растений в зависимости от значений параметров внешней среды
Описание протекания химической реакции в зависимости от концентрации реагирующих компонентов
Описание движения воздушных масс в атмосфере, связанное с прогнозированием погоды
Предсказание солнечных и лунных затмений
Описание эффективности проведения определенного класса вычислений в зависимости от конфигурации компьютера
Если исследуемая система допускает внешние воздействия, которые могут изменить ее состояние или поведение, то ею можно управлять для достижения определенных целей. Такие модели содержат один или несколько параметров, доступных внешнему влиянию.
Оптимизационные модели
Многокритериальные модели
Оптимизация процесса по нескольким критериям одновременно, причем критерии могут быть противоречивыми.
Модель теплового режима в зернохранилище
Сушка для древесины
Зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (армия, летний лагерь, школа, детский сад) с удовлетвореним потребности организма в питательных веществах, по возможности, дешево.
Определение целей моделирования
В зависимости от целей моделирования для одного и того же объекта могут быть получены совершенно разные модели
Виды целей
Модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром;
Модель нужня для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;
Понимание
Основная цель
Управление
Прогнозирование
Модель нужна для того, чтобы прогнозировать дальнейшее поведение объекта или последствия реализации воздействия на объект
подразделение их на входные и выходные параметры, и расстановка параметров по уровню значимости с точки зрения достижения поставленных на первом этапе целй
Составление списка параметров модели
...
...
X
Y
МОДЕЛЬ
x1
x2
x3
xn
y1
y2
y3
yn
Математическая формализация
...
...
X
Y
МОДЕЛЬ
x1
x2
x3
xn
y1
y2
y3
yn
R (x1,x2,..,xn; y1,y2, ..., yn)
Реализация математической модели
Заключается в нахождении способа вычисления неизвестных (выходных) параметров, исходя из соотношения
R(x1, x2, ... ,xk ; y1, y2, ... , yn)
Используют 2 метода:
Аналитический
Компьютерная реализация моделирования
Сопровождается разработкой алгоритма и составлением программы для компьютера. Если существует готовая и сертифицированная программа нужного типа, то можно ею воспользоваться.
Средства компьютерного моделирования:
Пакеты прикладных программ
(для непрограммирующих пользователей; поддерживают понятный для специалиста интерфейс)
;
Пакеты научной и инженерной графики
(для графической обработки результатов моделирования; реализуют анимацию и 3D-представление)
;
Электронные таблицы
(для реалиации не очень сложных математических моделей; Excel, OpenOffice.org Calc, Mathcad, Maple)
;
Построении алгоритма, составлении программы на используемом языке и отладки программы.
Необходимо использование тестовых задач
Этапы компьютерного моделирования
Моделирование динамических процессов (общая методика)
Динамический процесс - изменение состояния системы со временем. Например, изменение координат движущегося тела в пространстве, изменение температуры тела и т.п.
Примеры аналитических функциональных моделей.
F(t)=at+b - линейная функциональная модель
F(t)=a(t^2)+bt+c - квадратичная функциональная модель
F(t)=a(e^b(t)) - экспоненциальная функциональная модель
Численное моделирование динамических процессов
Происходит следующим образом:
1. Производится дискретизация времени: исследуемый промежуток времени разбивается на конечное число отрезков с точками на оси. Расстояние между двумя точками называется шагом дискретизации по времени:
∆ti = ti+1 - ti
В общем случае шаги могут быть различными, т.е. изменяться с изменением номера i. Если используется постоянный шаг ∆t, то будут справедливыми равенства:
ti=t0 + i∆t, t(i+1)=ti + ∆t
2. Принимается допущение, что в пределах временного шага значение величины F не изменяется: F(t)=Fi, при t принадлежащем [ti, t(i+1)]. В момент времени ti+1 значение величины F меняется скачком с Fi на Fi+1. Это допущение, не являясь единственно возможным, является самым простым.

3. Скорость изменения величины F оценивается отношением
Vi=(Fi - Fi)/∆t
. Отсюда следует равенство:
Fi+1=Fi + Vi∆t
.
Рекомендации для разработчиков моделирующих программ
Использование готовых программ.
Существуют фонды алгоритмов и программ (
http://fap.sbras.ru
).
Следует внимательно изучить стандартные библиотеки и модули, прилагаемые к используемой среде программирования.
Налядность пользовательского интерфейса
Работа пользователя с программой должна поддерживаться наглядным и понятным интерфейсом.
Запрос данных, вывод сообщений в процессе решения задачи должны происходить в диалоговом режиме.
Для этих целей подходят дополняющие универсальные языки программирования (Delphi, Visual Basic, Visual Fortran и др.). Однако, если использование визуальных сред программирования существенно увеличивает время исполнения программы, то, возможно, придется отказаться от "красивого" интерфейса программы.
Прежде, чем приступать к реализации проекта, полезно провести поиск готовой программы в таких фондах
Там можно найти уже реализованные процедуры для численных методов
Если есть какие-то другие способы определения скорости V на каждом временном шаге, то можно шаг за шагом вычислять значение величины F. Такие формулы называются
рекурентными
.
В случаях, когда при изучении динамического процесса не удается получить аналитически выраженную функциональную зависимость, применяют численные методы математического моделирования. При использовании численных методов искомые зависимости получают в виде числовых таблиц, связывающий конечное множество значений аргумента t и функции F:
Обозначим через F рассматриваемую характеристику системы. Зависимость от времени - F(t). Чаще всего зависимость носит непрерывный характер, как на графике ниже.
Если опытный специалист, не вникая в процедуры, делает вывод, что "такого не может быть в принципе", то в 99% случаях ошибка в этапе моделирования. Однако в 1% случаев такое обстоятельство означает открытие - преодоление уровня существующих знаний.
В случае несоответствия модели реальному процессу следует уточнять модель.
Анализ адекватности модели - сложная проблема, требующая участия прежде всего постановщика задачи и специалистов из той предметной области, к которой относится модель.
Вычислительный эксперимент и выяснение, соответствует ли модель реальному объекту (процессу).
Численный метод
Обеспечение требуемой точности результатов
Результаты математического моделирования теряют смысл, если нельзя оценить их погрешность.
При использовании численных методов погрешность результата зависит от шага дискретизации переменных величин (времени, координаты и др.).
С уменьшением шага уменьшается погрешность вычислений,
поэтому расчёты производятся не для единственного значния шага, а для поседовательности уменьшающихся шагов.
Например, при вычислении величины F с разным шагом по времени (∆t) получены следующие результаты:
F(∆t=0.1)=5,321467; F(∆t=0.01)=5,3425671 и т.д.
Использование внешней памяти.
Графическая иллюстрация результатов моделирования
Человеческое восприятие так устроено, что графически представленная информация, как правило, воспринимается значительно эффективнее, больше говорит о качестве процесса, чем числовая.
Для наглядного представления пространственного распределения величин удобно использовать картину изолиний - линий постоянного значения величины. Такой прием используется в картах погоды, где изображаются линии постоянной температуры постоянного давления
Выражение неизвестных параметров исходя из соотношения выше.
Позволяют выразить неизвестные величины через входные параметры в явном функциональном виде
Применяется, если не удается получить аналитическое решение. Для реализации требуется применение компьютера. Широкие возможности математического моделирования, по сравнению с аналитическими методами
Для хранения больших массивов данных следует использовать файлы.
Например, пусть при расчете распределения температуры в некоторой области на сетке размером 100x100 ячеек получается 10000 чисел. Нет смысла выводить их на экран. Для сохранения и дальнейшей обработки их следует записать в файл на диск. А на экран вывести только часть из этих значений, либо среднее, наибольшее или наименьшее значения.
Full transcript