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Limites determinados

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by Alejandro Forero on 15 September 2012

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Transcript of Limites determinados

LIMITES DETERMINADOS ¿ Que es un limite ? El límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. ¿Que tipo de limites hay?

Una sucesión tiene límite, si sus términos van tomando valores cada vez más próximos a una cierta cantidad que llamamos límite de la sucesión.
Una característica de esta cantidad es, que los términos de la sucesión nunca llegan a alcanzarla, a pesar de que pueden acercarse a ella tanto como queramos. Ejemplo an = 1/n

a1 = 1
a2 = 1/2
a3 = 1/3
a4 = 1/4, ...

Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural an <= an+1 (a1 <= a2 <= a3 <= ... <= an).



Ejemplo: an = n es monótona creciente.
a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, .. Sucesión monótona creciente Limite de una sucesión Sucesión monótona decreciente Una sucesión es monótona decreciente si se cumple que para todo n natural an >= an+1 (a1 >= a2 >= a3 >= ... >= an). Ejemplo: an = 1/n es monótona decreciente.

a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ... Límite finito de una sucesión Consideremos la sucesión an = 1/n.

a1 = 1
a2 = 1/2 = 0.5
a3 = 1/3 ≈ 0.33
a4 = 1/4 = 0.25
a5 = 1/5 = 0.2
a6 = 1/6 ≈ 0.17
a7 = 1/7 ≈ 0.14
a8 = 1/8 ≈ 0.12
a9 = 1/9 ≈ 0.11
a10 = 1/10 = 0.1 A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si representamos los términos como puntos en una línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece. Ejemplo: Se dice que an tiende a 0, o que tiene límite 0.

Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0. Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |an - a| < ε.

Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dicho entorno. Límite infinito de una sucesión Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que aN puede hacerse mayor que cualquier cosa, con tal de que n sea lo suficientemente grande. Consideremos la sucesión an = n2.

a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
...
a10 = 100
...
a100 = 10.000

Al crecer n, an no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende a infinito. Límite de una función En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos. se escribe: Ejemplo:

¿Que es continuidad? Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel. REALIZADO POR: Alejandro Forero
Andres Lizarazo
Camila Acero
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