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Esfuerzo cortante torsional y delfexión torsional

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by Jacob Hernández on 23 November 2012

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Transcript of Esfuerzo cortante torsional y delfexión torsional

Brenda Nieto Par de torsión, potencia y velocidad de rotación Tmáx= Tc Esfuerzo cortante torsional en elementos estructurales en elementos estructurales de sección transversal circular Para evaluar J con: Momento polar de inercia de barras circulares solidas En la geometría básica de una barra hueca las variables son: Esfuerzo cortante torsional y momento polar de inercia de una barra circular hueca En un problema de diseño, se conocen las cargas que actúan en un elemento y se requiere determinar su geometría para garantizar que las soportará con seguridad. La selección del material y la determinación de los esfuerzos de diseño son partes integrales del proceso de diseño. Las técnicas que se desarrollan en esta sección son sólo para miembros circulares, sometidos a torsión. Desde luego, se analizan miembros circulares tanto sólidos como huecos. La ecuación para el esfuerzo cortante torsional básico, se expresó como: Tmáx= ___ Diseño de elementos circulares sometidos a torsión Los miembros sometidos a torsión, en especial las flechas transmisoras de potencia, con frecuencia se fabrican con cambios de geometría en varias posiciones. Concentraciones de esfuerzo en elementos sometidos a torsión Grupo: 04 Equipo: 04 Cd. Universitaria, 23 de noviembre de 2012 Esfuerzo cortante torsional y deflexión torsional Oziel Bárcenas Priscila Corpus Leslie González Jacob Hernández Mario Treviño Carina Rosales En la siguiente figura, se muestra el sistema propulsor de un bote. La potencia que se genera por el motor fluye a través de la trasmisión y la flecha motriz hacia la hélice, la cual impulsa el bote hacia adelante. El cigüeñal en el interior del motor, las diversas flechas de transmisión de potencia que componen la trasmisión y la flecha motriz experimentan torsión. La magnitud del par de torsión en una flecha de transmisión de potencia depende de la cantidad de potencia que soporta y de la velocidad de rotación, según la siguiente relación: La figura anterior muestra una llave de cubo con extensión que se utiliza para apretar un perno. El par de torsión que se aplica tanto al perno, como a la extensión, es el producto de la fuerza aplicada y la distancia de la línea de acción de la fuerza al eje del perno. Es decir: Par de Torsión= T= F * d ... y se expresa en las unidades de fuerza por distancia, las cuales son N*m en el sistema métrico y lb*pulg o lb*pie en el sistema de medidas estadounidense. Potencia= par de torsión x velocidad de rotación P= T * n Esta es una relación de suma utilidad porque, con dos valores que se conozcan de P, n o T, se puede calcular el tercero. La potencia se define como la velocidad de transferencia de energía.
Potencia = energía/tiempo = joule/segundo= J/s= N*m/s = watt= W
La unidad estándar de velocidad de rotación en el SI es radianes por segundo, rad/s. Con frecuencia, sin embargo, la velocidad de rotación se expresa en revoluciones por minuto, rpm. Así mismo, las unidades estadounidenses que se usan para la potencia son los caballos de fuerza (hp). 1hp= 6600 lb*plg/s J Donde:
T= par de torsión aplicado en la sección de interésc= radio de la sección trasversalJ= momento polar de inercia de la sección transversal circular La fórmula para J de una sección transversal solida circular de deduce como: πD
32 4 J= ____ Donde D es el diámetro de la flecha; es decir, D=2R La variación lineal del esfuerzo y la deformación con la posición en la barra, el esfuerzo, T , en cualquier posición radial, r , puede calcularse por medio de: T= Tmáx __ r
c J= ∫ r dA 2 Se considera que dA es el área de un pequeño anillo de espesor dr que se localiza a una distancia r del centro de la sección. dA= 2πr * dr Por consiguiente, el momento polar de inercia de toda la sección transversal se determina cuando se integra desde r= en el centro de la barra hasta r= R en la superficie exterior. En general, conviene más usar el diámetro en lugar del radio. R=D/2 R = Radio interno
D = Diámetro interno
R = Radio externo= c
D = Diámetro externo 1 1 0 0 La lógica y los detalles del desarrollo de la fórmula para esfuerzo cortante torsional, se aplican también tanto a una barra hueca como a una sólida. La diferencia entre ellas radica en la evaluación del momento polar de inercia, como se verá más adelante. Por consiguiente, se puede usar la ecuación Tmáx= __

para calcular el esfuerzo cortante torsional máximo ya sea en una barra solida o en una hueca. Tc
J Además, el esfuerzo cortante máximo ocurre en la superficie externa de la barra y el esfuerzo varia linealmente con la posición radial en el interior de la barra. El esfuerzo cortante mínimo ocurre en la superficie interna. El esfuerzo cortante en cualquier posición radial se calcula con la ecuación Tmáx= __ . r
c Momento polar de inercia de una barra hueca. La derivación de la fórmula del momento polar de inercia de una barra hueca es similar a la que se uso en el caso de la barra solida. Partiendo de la definición básica del momento polar de inercia: Como con anterioridad, dA= 2πr * dr. Pero en el caso de la barra hueca, r varia únicamente de R a R . Luego: 0 i Si se sustituye R = D y R = D se obtiene: 0 0 ___
2 i i ___
2 Esta es la ecuación para el momento polar de inercia de una barra circular hueca. Resumen de las relaciones para esfuerzos cortantes torsionales en barras circulares huecas. Esfuerzo cortante máximo: Tmáx= __ Tc
J Tmax ocurre en la superficie externa de la barra, donde c es el radio de la barra. Esfuerzo cortante en cualquier posición radial r: T= Tmáx __ r
c Momento polar de inercia de barras huecas: J= π ___
32 (D - D ) 0 1 4 4 Tc
J En el diseño, se puede sustituir un cierto esfuerzo de diseño Td por Tmax. Como en el caso de miembros sometidos a esfuerzo cortante directo hechos de materiales dúctiles, el diseño por esfuerzo tiene relación con la resistencia a la cedencia del material a cortante. Es decir: en donde N es el factor de diseño que eligió el diseñador con base en el tipo de carga. La tabla siguiente se puede usar como guía para determinar el valor de N. Factores de diseño y esfuerzos cortantes de diseño para metales dúctiles Donde los valores de Sys, no están disponibles, pero se pueden calcular como Sy/2. Así se obtienen valores razonables y, por lo general, conservadores, para metales dúctiles, en especial el acero. Por consiguiente: Diseño por esfuerzo cortante: En un problema de diseño el par de torsión T se debe conocer. Luego, en la ecuación Tmáx= ___

solo c y J no se conocen. Notese que tanto c como J son propiedades geométricas del miembro que se va a diseñar. En el caso de miembros circulares sólidos (flechas), el diámetro define la geometría por completo. Se demostró que: Tc
J Ahora conviene señalar que si forma el cociente J/c, se obtiene una expresión simple que incluye D.

En el estudio de la resistencia de materiales, el termino J/c recibe el nombre de modulo de sección polar, y se usa el símbolo Zp para denotarlo. Módulo de sección polar-flechas sólidas: Si se sustituye J por Zp en la ecuación original se obtiene: __
c Para usar esta ecuación en el diseño, se puede hacer Tmáx=Td y en seguida resolverse para Zp. Módulo de sección polar requerido: La ecuación anterior da el valor que se requiere del módulo de sección polar de una flecha circular que limita el esfuerzo cortante torsional a td cuando se somete a una par de torsión T. Luego la ecuación Zp= πD

se usa para determinar el diámetro necesario de una flecha circular solida. Resolviéndola para D se tiene: 3 ___
16 Diámetro requerido: Si se va a diseñar una flecha hueca: Módulo de sección polar-flecha huecas: En este caso, uno de los diámetros o las relaciones entre los dos diámetros se tendría que especificar para definir la geometría de la flecha hueca. Los cambios de la sección transversal de una miembro sometido a torsión provocan que el esfuerzo local cerca de los cambios sea mayor que el que se pronostico mediante el uso de la fórmula para el esfuerzo cortante torsional. El nivel real de esfuerzo en tales casos se determina de manera experimental. En tal caso se determina un fa de concentración de esfuerzo que permita que el esfuerzo máximo en diseños similares se calcule con la relación: El término Tnom es el esfuerzo nominal causado por la torsión que se desarrollaría en las piezas si la concentración de esfuerzo no estuviera presente. El valor de Kt es un factor por el cual esfuerzo máximo real es mayor que el esfuerzo nominal. Barra redonda con agujero transversal: El objeto de perforar un agujero en una flecha es insertar un pasador a través del agujero correspondiente en la maza de un elemento tal como un engrane, polea o rueda dentada para cadena. El pasador sirve para situar el elemento de máquina en la flecha al mismo tiempo que también transmite el par de torsión de la flecha al elemento o de éste a la fleca. El agujero en la flecha es un cambio repentino de geometría y causa una concentración de esfuerzo. Barra redonda ranurada: Las ranuras de fondo redondeado se cortan en las barras redondas con el objeto de instalar sellos o para distribuir aceite lubricante alrededor de una flecha. El factor de concentración de esfuerzo depende de la relación del diámetro de la flecha al diámetro de la ranura y de la relación del radio de la ranura al diámetro de la misma. La ranura se corta con una herramienta de boca redondeada que produce la ranura de fondo redondeado. El radio ha de ser tan grande como sea posible para reducir al mismo el factor de concentración de esfuerzo. Barra redonda escalonada: Las flechas con frecuencia se fabrican con dos o más diámetros, lo que da por resultado una flecha escalonada. La cara del escalón sirve para localizar un lado de un elemento que se monta en la flecha, tal como un cojinete, engrane, polea o una rueda dentada para cadena. Se debe tener cuidado al definir el radio de la base del escalón, llamado radio de redondeo. Deben evitarse los vértices puntiagudos, porque provocan factores de concentración de esfuerzo muy elevados. El radio ha de ser tan grande como sea posible y al mismo tiempo compatible con los elementos montados en la flecha. Flechas con cuñeros: Los elementos transmisores de potencia por lo general transmiten un par de torsión hacia y desde las flechas por medio de cuñas que se insertan en cuñeros en la flecha. La polea de banda en V montada en el extremo de la flecha motriz constituye un ejemplo. Dos tipos de cuñeros son los de uso más frecuente: los cuñeros de extremo y los de perfil. Torsión - Deformación torsional elástica La rigidez además de la resistencia es una importante consideración de diseño de miembros sujetos a torsión. La medida de la rigidez torsional es el ángulo de torsión de un segmento de una flecha con respecto a otro cuando se aplica un cierto par de torsión. En aplicaciones de transmisión de potencia mecánica, la excesiva torsión de una flecha puede provocar problemas de vibración que, a su vez, pueden provocar ruido y una sincronización impropia de las piezas móviles. Una indicación por lo que se refiere a rigidez torsional tienen que ver con el grado de precisión que se desea. En el diseño estructural, los miembros de carga en ocasiones se someten a torsión así como también a tensión o reflexión. La rigidez de una estructura depende entonces de la rigidez torsional de sus componentes. Cualquier carga aplicada fuera del eje de un miembro y transversal al mismo producirá torsión. Esta sección analizará la torsión de miembros circulares, tanto sólidos como huecos. La derivación de la fórmula para el ángulo de torsión depende de algunas suposiciones básicas con respecto al comportamiento de un miembro circular que se somete a torsión. Luego de varias sustituciones, llegamos a la siguiente fórmula: Esta ecuación puede usarse para calcular el ángulo de torsión de una sección de una barra circular, ya sea sólida o hueca, con respecto a otra donde L es la distancia entre ellas, siempre que el par de torsión T , el momento polar de inercia, J, y el módulo de elasticidad a cortante, G, sean los mismos a lo largo de L. Cuando en el cálculo se utilizan unidades compatibles para todos los términos, todas las unidades se eliminan y queda un numero adimensional. Este, puede interpretarse como el ángulo , en radianes. Torsión en secciones no circulares El comportamiento de secciones no circulares cuando se someten a torsión es diferente en sumo grado del de las secciones circulares Existe una gran variedad de perfiles y el análisis de su rigidez y resistencia es diferente para cada uno. Aunque no llevaremos a cabo el desarrollo de las relaciones implicadas, haremos algunas generalizaciones. Las secciones sólidas que tienen la misma área de sección transversal son más rígidas cuando su forma se aproxima a la de un círculo. Por otra parte, un elemento compuesto de perfiles largos esbeltos que no son cerrados como un tubo son muy débiles y flexibles a torsión. Algunos ejemplos de perfiles flexibles son los perfiles estructurales comunes tales como vigas de patín ancho, vigas I estándar, canales y ángulos. Los tubos, las barras sólidas y los tubos rectangulares estructurales son muy rígidos.
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