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Teorema del muestreo (Teorema de Nyquist-Shannon).

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by Edgar Gallego on 4 May 2011

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Transcript of Teorema del muestreo (Teorema de Nyquist-Shannon).

TEOREMA DEL MUESTREO


Procesamiento Digital de Señales

Edgar Fernando Ramos Gallego
Fernando Encinas
Muestreo periódico.

Existen varias maneras de muestrear una señal de las cuales la más común es el muestreo periódico, es cuando tomamos mediciones de la misma señal a intervalos iguales. Se puede describir de la siguiente relación:

X(n) = Xa(nT)

Donde X(n) es la señal en tiempo discreto obtenida de las muestras hechas a la señal analógica Xa(t) cada T segundos ¿Qué es muestreo?

Es la conversión de una señal en tiempo continuo a una señal en tiempo discreto. Se obtiene tomando muestras periódicas de esa señal continua cada T segundos. El muestreo periódico establece una relación entre las variables t de
tiempo continuo y n de tiempo discreto mediante:

t = nT = n / T (velocidad de muestreo)

Existe una relación entre la variable de frecuencia F de la señal analógica y la variable f de las señales en tiempo discreto.
Se considera una señal analógica de la siguiente forma:

Xa(t) = A cos(2πFt + θ)
Cuando se muestrea periodicamente a una velocidad de Fs = 1 / T muestras por segundo, queda de la siguiente forma:

X(n) = A cos ((2πnF / Fs) + θ) Ejemplo:

Se considera la siguiente señal analógica
Xa(t) = 3 cos(100πt)

a) Si la señal se muestrea a una velocidad de Fs = 200Hz ¿Cuál es la señal en tiempo discreto obtenida tras el muestreo?
b) Si la velocidad de muestreo cambia a Fs = 75Hz

Sol.

a) X(n) = 3 cos((100π / 200)*n) = 3 cos((π/2)*n)

b) X(n) = 3 cos((100π / 75)*n) = 3 cos((4π / 3)*n) Teorema de muestreo.

Primero que nada se necesita tener cierta información general sobre el contenido de la señal a muestrear. Dicha información se encuentra en la amplitud, frecuencia y fase de los distintos componentes de frecuencia.
Cualquier señal analógica se puede representar como una suma de senoides de diferentes amplitudes, frecuencias y fases, es decir:

Xa(t) = n∑i=1 A cos(2πFt + θ)

Cada tipo de señal tiene su frecuencia máxima permitida, y para asegurarse que la frecuencia no rebase ese valor máximo asignado, la señal analógia es pasada por un filtro que atenúa las frecuencias Fmax. La frecuencia más alta de una señal cuando se muestrea con una velocidad de Fs = 1 / T es Fs/2.
para evitar ambigüedades que resultan del aliasing, se selecciona una velocidad de muestreo alta, es decir se debe escoger a Fs/2 mayor a Fmax, por lo tanto para evitar el problema se selecciona Fs como:
Fs = 2Fmax

Teorema: Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica Xa(t) es Fmax = B y la señal se muestrea a una velocidad Fs> 2Fmax, entonces Xa(t) se puede recuperar totalmente de sus muestras mediante lasiguiente función de interpolación: Así Xa(t) se puede expresar como:




Donde Xa(n/Fs) = Xa(nT) = X(n).
Cuando el muestreo de Xa(n) se realiza a la tasa mínima de muestreo Fs = 2B, la fórmula cambia a esta manera:




La tasa de muestreo FN = 2B = 2Fmax, se denomina tasa de Nyquist. Ejemplo:

Considere la siguiente señal analógica:
Xa(t) = 3 cos 50πt + 10 sin 300πt - cos 100πt

¿Cuál es la tasa de Nyquist para esta señal?

sol.
Las frecuencias en la señal son:
F1= 25Hz, F2 = 150Hz, F3 = 50Hz
por lo tanto la frecuencia máxima obtenida es 150Hz, y de acuerdo a la fórmula Fs= 2Fmax, la tasa de Nyquist es:

Fn= 2Fmax
es decir;
Fn= 2(150Hz) = 300Hz
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